Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Bài này thuộc phần 5 trong 7 phần của series Ứng dụng máy tính Casio fx-580VN X vào chương trình Toán THPT

Về phương diện vị trí hai đường thẳng trên mặt phẳng có ba vị trí tương đối là cắt nhau, song song và trùng nhau; hai đường thẳng trong không gian thì có thêm một vị trí nữa là chéo nhau

Đối với hai đường thẳng trên mặt phẳng chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách giải hệ hai phương trình hai ẩn

Đối với hai đường thẳng trong không gian chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách tính tích có hướng và tích hỗn hợp

Tất cả các công việc trên đều có thể thực hiện dễ dàng bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Mục lục nội dung

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng

1.1 Kiến thức Toán học

Trên mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d)$ và $(d’)$ lần lượt có phương trình tổng quát là $ax+by+c=0$ và $a’x+b’y+c’=0$

Toạ độ giao điểm của $(d)$ và $(d’)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{llll}ax&+by&+c&=0\\a’x&+b’y&+c’&=0\end{array}\right.$

Nếu hệ phương trình có một nghiệm duy nhất thì $(d)$ cắt $(d’)$
Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì $(d)$ song song $(d’)$
Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì $(d)$ trùng $(d’)$

1.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Có nhiều thủ thuật để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng như đa biểu thức, phương thức tính toán Verify, phương thức tính toán Equation/ Func, …

Trong đó thủ thuật sử dụng phương thức tính toán Equation/ Func tức giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tối ưu nhất

Chú ý 1.2

Nếu phương trình đường thẳng được cho dưới dạng tham số, đoạn chắn thì bạn cần chuyển về tổng quát trước khi áp dụng thủ thuật

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 2

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình

Bước 5 Nhấn phím =

Nếu máy tính thông báo $x=…; y=…$ thì hai đường thẳng cắt nhau
Nếu máy tính thông báo No Solution thì hai đường thẳng song song
Nếu máy tính thông báo Infinite Solution thì hai đường thẳng trùng nhau

1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.1

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d): x+2y+3=0$ và đường thẳng $(d’): 5x+7y+11=0$

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\5x~+&7y=-&11\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ cắt $(d’)$ và tọa độ giao điểm là $\left(-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{4}{3}\right)$

Ví dụ 1.3.2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d): x+2y+3=0$ và đường thẳng $(d’): x+2y+13=0$

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\x~+&2y=-&13\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ song song $(d’)$

Ví dụ 1.3.3

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d): x+2y+3=0$ và đường thẳng $(d’): 2x+4y+6=0$

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\2x~+&4y=-&6\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ trùng $(d’)$

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

2.1 Kiến thức Toán học

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $(d_1)$ đi qua điểm $M_1$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_1}$ và đường thẳng $(d_2)$ đi qua điểm $M_2$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_2}$

$(d_1)$ trùng $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&=\vec{0}\end{array}\right.$

$(d_1)$ song song $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&\neq\vec{0}\end{array}\right.$

$(d_1)$ cắt $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}&=0\end{array}\right.$

$(d_1)$ chéo $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_{1}M_{2}}&\neq0\end{array}\right.$

Chú ý 2.1

$[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$ được gọi là tích có hướng của $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$
$\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}$ được gọi là tích hỗn hợp của $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$, $\overrightarrow{M_1M_2}$
Tích có hướng của hai véctơ là một véctơ
Tích hỗn hợp của ba véctơ là một số

Các phép tính này đều có thể thực hiện dễ dàng nhờ vào phương thức tính toán Vector của máy tính CASIO fx-580VN nên bạn không cần bâng khuâng

2.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Định nghĩa $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$, $\overrightarrow{M_1M_2}$

Bước 3 Tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$

Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]$
Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\neq\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}$

Bước 4 Kết luận

Nếu $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=\vec{0}$ thì $(d_1)$ trùng $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ song song $(d_2)$
Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}=0$ thì $(d_1)$ cắt $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ chéo $(d_2)$

2.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 2.3.1

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\y=4-t\\z=5+2t\end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l}x=2+3t’\\y=5-3t’\\z=3+6t’\end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; -1; 2), \vec{u_2}=(3; -3; 6), \overrightarrow{M_1M_2}=(-1; 1; -2)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(1; -1; 2), VctB=(3; -3; 6), VctC=(-1; 1; -2)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng $[VctA; VctC]$

Vậy $(d_1)$ trùng $(d_2)$

Ví dụ 2.3.2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\y=-3+t\\z=1+t\end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=5+2t’\\ y=1-t’\\ z=5-t’ \end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(-2; 1; 1), \vec{u_2}=(2; -1; -1), \overrightarrow{M_1M_2}=(2; 4; 4)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(-2; 1; 1), VctB=(2; -1; -1), VctC=(2; 4; 4)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng $[VctA; VctC]$

Vậy $(d_1)$ song song $(d_2)$

Ví dụ 2.3.3

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\ y=1+3t \\ z=1-t \end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=-1+3t’\\ y=-1+2t’\\ z=t’ \end{array}\right.$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; 3; -1), \vec{u_2}=(3; 2; 1), \overrightarrow{M_1 M_2}=(-3; -2; -1)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(1; 3; -1), VctB=(3; 2; 1), VctC=(-3; -2; -1)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 4 Tính tích hỗn hợp $[VctA; VctB].VctC$

Vì $[VctA; VctB]$ hiện tại là $VctAns$ nên chúng ta sẽ nhập $VctAns \cdot VctC$

Vậy $(d_1)$ cắt $(d_2)$

Ví dụ 2.3.4

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $(d_1)\left\{\begin{array}{l} x=7+t \\ y=3+2 t \\ z=9-t \end{array}\right.$ và đường thẳng $(d_{2})\left\{\begin{array}{l} x=3-t’\\ y=1+2t’\\ z=1+3t’ \end{array}\right.$