Ứng dụng máy tính Casio fx-580VN X vào chương trình Toán THPT

Trong Toán học để đo số đo của cung hoặc góc ngoài đơn vị Độ người ta còn sử dụng một đơn vị khác gọi là Radian

Đơn vị này là đơn vị chuẩn khi làm việc với các hàm số lượng giác ($\sin, \cos, \tan, …$) hoặc các hàm lượng giác ngược ($\arcsin, \arccos, \arctan, …$)

Việc chuyển đổi số đo góc từ Độ sang Radian không có gì khó khăn

Tuy nhiên để tiết kiệm thời gian và đảm bảo sự chính xác chúng ta có thể chuyển bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Siêu máy tính CASIO fx 880 BTG vừa mới ra mắt

1 Quan hệ giữa Độ và Radian

Độ và Radian đều là đơn vị góc nên chắc chắn chúng có mối quan hệ với nhau

Thật vậy mối quan hệ này được thể hiện bằng công thức $1^o=\dfrac{\pi}{180}~rad$ và ngược lại $1~rad = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^o$

Nếu lấy $\pi \approx 3.14$ thì $1^o \approx 0.01745 ~rad$ và $1 ~rad \approx 57^o17’45’’$

2 Đổi số đo góc từ Độ sang Radian

Bước 1 Thiết lập cấu hình Angle Unit là Radian

• Bước 1.1 Nhấn phím SETUP (nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím MENU)

• Bước 1.2 Nhấn phím 2 để chọn Angle Unit

• Bước 1.3 Nhấn phím 2 để chọn Radian

Bước 2 Nhập số đo góc và đơn vị góc cần chuyển đổi

• Bước 2.1 Nhập số đo góc, chẳng hạn mình sẽ nhập $180$

• Bước 2.2 Nhấn phím OPTN => nhấn phím 2 để chọn Angle Unit

• Bước 2.3 Nhấn phím 1 để chọn $^o$

Bước 3 Nhấn phím =

3 Đổi số đo góc từ Radian sang Độ

Bước 1 Thiết lập cấu hình Angle Unit là Degree

• Bước 1.1 Nhấn phím SETUP (nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím MENU)

• Bước 1.2 Nhấn phím 2 để chọn Angle Unit

• Bước 1.3 Nhấn phím 1 để chọn Degree

Bước 2 Nhập số đo góc và đơn vị góc cần chuyển đổi

• Bước 2.1 Nhập số đo góc, chẳng hạn mình sẽ nhập $\pi$ (nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím $\times 10^x$)

• Bước 2.2 Nhấn phím OPTN => nhấn phím 2 để chọn Angle Unit

• Bước 2.3 Nhấn phím 2 để chọn $^r$

Bước 3 Nhấn phím =

4 Một số chú ý

• Để nhập góc $...^o…’…’’$ chúng ta cần nhấn thêm
• Khi chuyển đổi số đo từ Radian sang Độ để hiển thị $...^o…’…’’$ chúng ta cũng cần nhấn thêm

Bước 1 Thiết lập cấu hình Angle Unit là Radian

Bước 2 Nhập góc $20$ $30$ $50$

Bước 3 Nhập đơn vị góc

Bước 4 Nhấn phím =

Vậy $20^o30’50’’ \approx 0.3580349035~rad$

Bước 1 Thiết lập cấu hình Angle Unit là Degree

Bước 2 Nhập góc => nhập đơn vị góc

Bước 3 Nhấn phím =

Bước 4 Nhấn phím

Vậy $\dfrac{5 \pi}{7}~rad \approx 128^o34’17.14’’$

Khi biết số đo của một góc cho trước chúng ta có thể tính được các giá trị lượng giác $(\sin, \cos, \tan$ và $\cot)$ tương ứng

Ngược lại khi biết giá trị lượng giác của một góc chúng ta cũng có thể tính được số đo của góc đó

Với sự giúp đỡ của máy tính CASIO fx-580VN X chúng ta dễ dàng tính được giá trị lượng giác của một góc hoặc tìm ra số đo của góc đó

Tuy nhiên khi tính $\cot$ hoặc arccot thì nhiều bạn chưa làm được, nguyên nhân là do máy tính CASIO fx-580VN X không hỗ trợ phím $\cot$ và phím $\cot^{-1}$

1 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Chúng ta nên ghi nhớ các giá trị lượng giác của các góc được trình bày trong bảng bên dưới vì chúng rất thường gặp và cũng không khó nhớ

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan x$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\parallel$
$\cot x$	$\parallel$	$\sqrt {3}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

2 Thiết lập đơn vị góc

Trước khi thực hiện các thao tác tính toán với các hàm lượng giác chúng ta cần thiết lập đơn vị góc của máy tính phù hợp với đơn vị góc của biểu thức cần tính

Thiết lập Radian làm đơn vị góc mặc định

Bước 1 Nhấn phím SETUP (nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím MENU)

Bước 2 Chọn cấu hình Angle Unit

Bước 3 Chọn đơn vị góc Radian

Trường hợp bạn muốn thiết lập Độ làm đơn vị góc mặc định thì ở Bước 2 bạn hãy chọn Degree

3 Tính giá trị lượng giác của một góc

Nếu không có yêu cầu cụ thể, khi tính giá trị lượng giác của một góc chúng ta cần tính cả bốn giá trị $\sin, \cos, \tan$ và $\cot$

Bước 1 Nhập các hàm lượng giác

• Các hàm $\sin, \cos, \tan$ được nhập vào bằng cách nhấn trực tiếp vào các phím $\sin, \cos, \tan$
• Hàm $\cot$ không thể nhập trực tiếp nên chúng ta sẽ nhập thông qua phím $\tan$, cụ thể chúng ta sẽ nhập $\dfrac{1}{\tan(\square)}$ hoặc $\tan(\square)^{-1}$

Bước 2 Nhập số đo góc

Bước 3 Nhấn phím =

Các giá trị $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right), \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right), \tan\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ có thể tính được một cách dễ dàng

• 

• 

• 

Giá trị $\cot \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ bạn có thể tính bằng một trong hai phương pháp

• Phương pháp 1 Tính thông qua hàm $\cos$ và hàm $\sin$

• Phương pháp 2 Tính thông qua hàm $\tan$

• 

• 

4 Tìm số đo của góc khi biết giá trị lượng giác

Bước 1 Nhập các hàm lượng giác ngược

• Các hàm lượng giác ngược $\arcsin, \arccos, \arctan$ được nhập bằng cách nhấn trực tiếp vào các phím $sin^{-1}, cos^{-1}, tan^{-1}$
• Hàm arccot không thể nhập trực tiếp nên chúng ta sẽ nhập thông qua phím $\arctan$, cụ thể chúng ta sẽ nhập $\arctan\left(\dfrac{1}{\square}\right)$ hoặc $\arctan(\square^{-1})$

Bước 2 Nhập giá trị lượng giác

Bước 3 Nhấn phím =

Số đo của góc $x$ tương ứng với các giá trị $\sin(x)=1$, $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$, $\tan(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ có thể tính được một cách dễ dàng

• 

• 

• 

Số đo của góc $x$ tương ứng với giá trị $\cot(x)=\sqrt{3}$ bạn có thể tính bằng một trong hai cách

• Cách 1 Tính thông qua phím

• Cách 2 Tính thông qua phím

5 Tính giá trị của biểu thức có chứa các hàm lượng giác

Khi tính toán với các biểu thức có chứa các hàm lượng giác thì công việc đầu tiên cần thực hiện là thiết lập đơn vị góc của máy tính phù hợp với biểu thức cần tính

Tuy nhiên có trường hợp trong cùng một biểu thức nhưng mỗi hàm lượng giác khác nhau lại sử dụng một đơn vị góc khác nhau

Chẳng hạn biểu thức $\sin(30)+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ vừa sử dụng đơn vị Độ vừa sử dụng đơn vị Radian

Câu hỏi được đặt ra là nếu gặp biểu thức như trên thì thiết lập như thế nào?

Giả sử rằng máy tính của mình đang thiết lập Độ làm vị góc mặc định

• Phương pháp 1 Chuyển số đo góc từ Radian sang Độ

• Phương pháp 2 Khai báo cho máy tính biết góc $\dfrac{\pi}{4}\right$ có đơn vị là Radian

Phương pháp 1 Chuyển số đo góc từ Radian sang Độ

Bước 1 Chuyển $\dfrac{\pi}{4}$ sang Độ

Bước 2 Nhập biểu thức $\sin(30)+\cos(45)$

Vậy $\sin(30)+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

Phương pháp 2 Khai báo cho máy tính biết góc $\dfrac{\pi}{4}\right$ có đơn vị là Radian

Bước 1 Nhập biểu thức $\sin(30)+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

Bước 2 Khai báo đơn vị góc là Radian cho góc $\dfrac{\pi}{4}$ (nhấn phím OPTN rồi nhấn phím 2)

Vậy $\sin(30)+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

Phương trình đường thẳng, đường tròn và đường cong Parabol là một trong những phương trình thường gặp trong chương trình Toán học Trung học Phổ thông

Tùy thuộc vào các dữ kiện cho trước mà sẽ có các cách viết khác nhau, điểm đi qua là một trong những dữ kiện thường gặp nhất

Hôm này mình sẽ hướng dẫn các bạn viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, đường tròn hoặc đường cong Parabol đi qua ba điểm bằng máy tính CASIO fx-580VN X

1 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Có nhiều phương pháp để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Trong phạm vi của bài viết này mình sẽ hướng dẫn các bạn viết bằng cách giải hệ hai phương trình hai ẩn

Giả sử phương trình đường thẳng cần tìm có dạng $y=ax+b$ và tọa độ của hai điểm đi qua là $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$

Khi đó $a, b$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}y_1=ax_1+b\\y_2=ax_2+b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}ax_1+b=y_1\\ax_2+b=y_2\end{array}\right.$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 2

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}6a+b=7\\2a+b=5\end{array}\right.$

Bước 5 Nhấn phím =

• 

• 

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y=\dfrac{1}{2}x+4$

2 Phương trình đường tròn

Giả sử phương trình đường tròn cần tìm có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và tọa độ ba điểm đi qua $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, $(x_3; y_3)$

Khi đó $a, b, c$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+y_1^2-2ax_1-2by_1+c=0\\\\x_2^2+y_2^2-2ax_2-2by_2+c=0\\\\x_3^2+y_3^2-2ax_3-2by_3+c=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}-2ax_1-2by_1+c=-(x_1^2+y_1^2)\\\\-2ax_2-2by_2+c=-(x_2^2+y_2^2)\\\\-2ax_3-2by_3+c=-(x_3^2+y_3^2)\end{array}\right.$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 3

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lrrrr}-&12a~-&14b~+&c=-&85\\-&4a~-&10b~+&c=-&29\\-&2a~-&2b~+&c=-&2\end{array}\right.$

Bước 5 Nhấn phím =

• 

• 

• 

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-2.\dfrac{85}{14}x-2.\dfrac{13}{7}y+\dfrac{97}{7}=0$

3 Phương trình cong Parabol

Giả sử phương trình đường cong Parabol cần tìm có dạng $y=ax^2+bx+c$ và tọa độ của ba điểm đi qua là $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, $(x_3; y_3)$

Khi đó $a, b, c$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}y_1=ax_1^2+bx_1+c\\\\y_2=ax_2^2+bx_2+c\\\\y_3=ax_3^2+bx_3+c\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array} {l}ax_1^2+bx_1+c=y_1\\\\ax_2^2+bx_2+c=y_2\\\\ax_3^2+bx_3+c=y_3\end{array}\right.$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 3

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrrr}36a~+&6b~+&c=&7\\4a~+&2b~+&c=&5\\a~+&b~+&c=&1\end{array}\right.$

Bước 5 Nhấn phím =

• 

• 

• 

Vậy phương trình đường cong Parabol cần tìm là là $y=-\dfrac{7}{10}x^2+\dfrac{61}{10}x-\dfrac{22}{5}$

Phương trình có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2 > 0$ $(A, B, C$ không đồng thời bằng $0)$ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

Về phương diện vị trí, hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là trùng nhau, song song và cắt nhau. Riêng trong trường hợp cắt nhau thì có một trường hợp đặc biệt là vuông góc

Việc xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng không có gì khó khăn. Tuy nhiên để rút ngắn thời gian và đảm bảo sự chính xác chúng ta có thể sử dụng phương thức tính toán Verify trong máy tính CASIO fx-580VN X để hỗ trợ

1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\alpha’)$ có phương trình lần lượt là $Ax+By+Cz+D=0$ và $A’x+B’y+C’z+D’=0$

Khi đó

• $(\alpha)$ trùng $(\alpha’) \Leftrightarrow \dfrac{A}{A’}=\dfrac{B}{B’}=\dfrac{C}{C’}=\dfrac{D}{D’}$

• $(\alpha)$ song song $(\alpha’) \Leftrightarrow \dfrac{A}{A’}=\dfrac{B}{B’}=\dfrac{C}{C’}\neq\dfrac{D}{D’}$

• $(\alpha)$ cắt $(\alpha’) \Leftrightarrow (A:B:C) \neq (A’:B’:C’)$

2 Thủ thuật xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Verify

Bước 2 Nhập biểu thức $\dfrac{A}{A’}=\dfrac{B}{B’}=\dfrac{C}{C’}=\dfrac{D}{D’}$

Bước 3 Nhấn phím =

• Nếu máy thông báo True thì kết luận mặt phẳng $(\alpha)$ trùng với mặt phẳng $(\alpha’)$
• Nếu máy thông báo False thì thực hiện Bước 4

Bước 4 Nhập biểu thức $\dfrac{A}{A’}=\dfrac{B}{B’}=\dfrac{C}{C’}\neq\dfrac{D}{D’}$

Bước 5 Nhấn phím =

• Nếu máy thông báo True thì kết luận mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\alpha’)$
• Nếu máy thông báo False thì kết luận mặt phẳng $(\alpha)$ cắt mặt phẳng $(\alpha’)$

3 Ví dụ minh họa

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Verify

Bước 2 Nhập biểu thức $\dfrac{6}{36}=\dfrac{8}{48}=\dfrac{9}{54}=\dfrac{8}{48}$

Bước 3 Nhấn phím =

Vậy mặt phẳng $(P)$ trùng với mặt phẳng $(Q)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Verify

Bước 2 Nhập biểu thức $\dfrac{7}{14}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{7}{9}$

Bước 3 Nhấn phím =

Suy ra mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chỉ có thể song song hoặc cắt nhau

Bước 4 Nhập biểu thức $\dfrac{7}{14}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{3}{6}\neq\dfrac{7}{9}$

Bước 5 Nhấn phím =

Vậy mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Verify

Bước 2 Nhập biểu thức $\dfrac{8}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{8}{3}$

Bước 3 Nhấn phím =

Suy ra mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chỉ có thể song song hoặc cắt nhau

Bước 4 Nhập biểu thức $\dfrac{8}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{9}\neq\dfrac{8}{3}$

Bước 5 Nhấn phím =

Vậy mặt phẳng $(P)$ cắt mặt phẳng $(Q)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Verify

Bước 2 Nhập biểu thức $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{-20}=\dfrac{4}{3}$

Bước 3 Nhấn phím =

Suy ra mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chỉ có thể song song hoặc cắt nhau

Bước 4 Nhập biểu thức $\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{-20}\neq\dfrac{4}{3}$

Bước 5 Nhấn phím =

Vậy mặt phẳng $(P)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ và đặc biệt hơn nửa chúng còn vuông góc với nhau

Thật vậy $4 \times 12+1 \times 12+3 \times (-20)=0$

Về phương diện vị trí hai đường thẳng trên mặt phẳng có ba vị trí tương đối là cắt nhau, song song và trùng nhau; hai đường thẳng trong không gian thì có thêm một vị trí nữa là chéo nhau

Đối với hai đường thẳng trên mặt phẳng chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách giải hệ hai phương trình hai ẩn

Đối với hai đường thẳng trong không gian chúng ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách tính tích có hướng và tích hỗn hợp

Tất cả các công việc trên đều có thể thực hiện dễ dàng bằng máy tính CASIO fx-580VN X

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng

1.1 Kiến thức Toán học

Trên mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d)$ và $(d’)$ lần lượt có phương trình tổng quát là $ax+by+c=0$ và $a’x+b’y+c’=0$

Toạ độ giao điểm của $(d)$ và $(d’)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{llll}ax&+by&+c&=0\\a’x&+b’y&+c’&=0\end{array}\right.$

• Nếu hệ phương trình có một nghiệm duy nhất thì $(d)$ cắt $(d’)$
• Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì $(d)$ song song $(d’)$
• Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì $(d)$ trùng $(d’)$

1.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Có nhiều thủ thuật để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên mặt phẳng như đa biểu thức, phương thức tính toán Verify, phương thức tính toán Equation/ Func, …

Trong đó thủ thuật sử dụng phương thức tính toán Equation/ Func tức giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tối ưu nhất

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Equation/ Func

Bước 2 Chọn Simul Equation

Bước 3 Nhấn phím 2

Bước 4 Nhập các hệ số của hệ phương trình

Bước 5 Nhấn phím =

• Nếu máy tính thông báo $x=…; y=…$ thì hai đường thẳng cắt nhau
• Nếu máy tính thông báo No Solution thì hai đường thẳng song song
• Nếu máy tính thông báo Infinite Solution thì hai đường thẳng trùng nhau

1.3 Ví dụ minh họa

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\5x~+&7y=-&11\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ cắt $(d’)$ và tọa độ giao điểm là $\left(-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{4}{3}\right)$

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\x~+&2y=-&13\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ song song $(d’)$

Bước 1 Nhập hệ phương trình $\left\{\begin{array}{rrr}x~+&2y=-&3\\2x~+&4y=-&6\end{array}\right.$

Bước 2 Nhấn phím =

Vậy $(d)$ trùng $(d’)$

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

2.1 Kiến thức Toán học

Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $(d_1)$ đi qua điểm $M_1$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_1}$ và đường thẳng $(d_2)$ đi qua điểm $M_2$ có véctơ chỉ phương $\vec{u_2}$

• $(d_1)$ trùng $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&=\vec{0}\end{array}\right.$

• $(d_1)$ song song $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left\mspace{1mu}[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&=\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}\right]&\neq\vec{0}\end{array}\right.$

• $(d_1)$ cắt $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}&=0\end{array}\right.$

• $(d_1)$ chéo $(d_2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{ll}\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]&\neq\vec{0}\\\left[\vec{u_1}; \vec{u_2}\right]\cdot\overrightarrow{M_{1}M_{2}}&\neq0\end{array}\right.$

Các phép tính này đều có thể thực hiện dễ dàng nhờ vào phương thức tính toán Vector của máy tính CASIO fx-580VN nên bạn không cần bâng khuâng

2.2 Thủ thuật máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Định nghĩa $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$, $\overrightarrow{M_1M_2}$

Bước 3 Tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]$

• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]=\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}]\neq\vec{0}$ thì tính $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}$

Bước 4 Kết luận

• Nếu $[\vec{u_1}; \overrightarrow{M_1M_2}]=\vec{0}$ thì $(d_1)$ trùng $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ song song $(d_2)$
• Nếu $[\vec{u_1}; \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}=0$ thì $(d_1)$ cắt $(d_2)$ ngược lại $(d_1)$ chéo $(d_2)$

2.3 Ví dụ minh họa

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; -1; 2), \vec{u_2}=(3; -3; 6), \overrightarrow{M_1M_2}=(-1; 1; -2)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(1; -1; 2), VctB=(3; -3; 6), VctC=(-1; 1; -2)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng $[VctA; VctC]$

Vậy $(d_1)$ trùng $(d_2)$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(-2; 1; 1), \vec{u_2}=(2; -1; -1), \overrightarrow{M_1M_2}=(2; 4; 4)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(-2; 1; 1), VctB=(2; -1; -1), VctC=(2; 4; 4)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể trùng nhau hoặc song song

Bước 4 Tính tích có hướng $[VctA; VctC]$

Vậy $(d_1)$ song song $(d_2)$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; 3; -1), \vec{u_2}=(3; 2; 1), \overrightarrow{M_1 M_2}=(-3; -2; -1)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(1; 3; -1), VctB=(3; 2; 1), VctC=(-3; -2; -1)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 4 Tính tích hỗn hợp $[VctA; VctB].VctC$

Vì $[VctA; VctB]$ hiện tại là $VctAns$ nên chúng ta sẽ nhập $VctAns \cdot VctC$

Vậy $(d_1)$ cắt $(d_2)$

Dễ thấy $\vec{u_1}=(1; 2; -1), \vec{u_2}=(-1; 2; 3), \overrightarrow{M_1M_2}=(-4; -2; -8)$

Bước 1 Chọn phương thức tính toán Vector

Bước 2 Khai báo $VctA=(1; 2; -1), VctB=(-1; 2; 3), VctC=(-4; -2; -8)$

Bước 3 Tính tích có hướng $[VctA; VctB]$

Suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Bước 4 Tính tích hỗ hợp $[VctA; VctB].VctC$

Vậy $(d_1)$ chéo $(d_2)$

Tam giác Pascal là một mảng tam giác của các hệ số nhị thức

Người ta thường sử dụng tam giác này để khai triển các hằng đẳng thức $(x+y)^2$, $(x-y)^2$, $(x+y)^3$, $(x-y)^3$ và tổng quát là khai triển $(x \pm y)^n$

Có nhiều phương pháp để lập tam giác Pascal, hôm nay mình sẽ giới thiệu đến các bạn hai phương pháp mà mình thường sử dụng

1 Dựa vào kiến thức Toán học

Bước 1 Dòng thứ nhất viết một số $1$

Bước 2 Dòng thứ nhì viết hai số $1$

Bước 3 Dòng thứ ba

• Bước 3.1 Số đầu tiên và số cuối cùng viết số $1$

• Bước 3.2 Số ở giữa bằng tổng của hai số ở hàng thứ nhì

Bước 4 Thực hiện tương tự Bước 3 để hoàn thành các dòng tiếp theo

2 Dựa vào kiến thức máy tính CASIO fx-580VN X

Ưu điểm lớn nhất của phương pháp này là bạn có thể lập được một dòng bất kì của tam giác, không phụ thuộc vào dòng phía trên

Bước 1 Nhập biểu thức $(1+100)^x$

Bước 2 Nhấn phím CALC

Bước 3 Nhập $0$

Bước 4 Nhấn phím $=$

Bước 5 Thực hiện lại Bước 2, Bước 3, Bước 4 với $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

• 

• 

• 

• 

Bước 6 Vì $x=5, 6, 7$ cho kết quả tính toán tràn màn hình nên chúng ta cần xử lí lại

• 

• 

Suy ra $(1+100)^5=10510100501$

• 

• 

Suy ra $(1+100)^6=1061520150601$

• 

• 

Suy ra $(1+100)^7=107213535210701$

Bước 7 Hoàn thành tam giác Pascal

• Thêm chữ số $0$ vào đầu mỗi kết quả tính toán để tam giác cân đối, tránh sai sót khi sử dụng
• Tách mỗi kết quả tính toán thành từng đôi theo chiều từ phải sang trái

Do hạn chế của máy tính CASIO fx-580VN X nên chúng ta chỉ có thể lập được tám dòng tức lập được bảy bậc

Nếu muốn lập đến bậc cao hơn thì bạn có thể lập thủ công bằng cách sử dụng các kiến thức Toán học

Cao thì cao nhưng cũng chỉ từ bậc mười trở xuống, nếu cao hơn thì nên sử dụng công thức nhị thức Newton

$(a+b)^{n}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+\ldots+C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}+\ldots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+C_{n}^{n} b^{n}$

3 Ứng dụng khai triển biểu thức

Vì mục đích chính là hướng dẫn cho các bạn biết cách ứng dụng tam giác Pascal vào việc khai triển nhị thức, xa hơn là đa thức, phân thức nên các ví dụ minh họa mà mình lựa chọn rất đơn giản

Bước 1 Xác định hệ số của các hạng tử và dấu của chúng

• Xem dòng thứ ba của tam giác Pascal
• Dấu của các hạng tử là dấu $+$

$+1+2+1$

Bước 2 Biểu diễn $x$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $x$ sẽ giảm dần từ $2$ đến $0$

$+1x^2+2x^1+1x^0$

Bước 3 Biểu diễn $y$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $y$ sẽ tăng dần từ $0$ đến $2$

$+1x^2y^o+2x^1y^1+1x^0y^2$

Bước 4 Rút gọn biểu thức

$x^2+2xy+y^2$

Vậy $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

Bước 1 Xác định hệ số của các hạng tử và dấu của chúng

• Xem dòng thứ tư của tam giác Pascal
• Dấu của các hạng tử là dấu $+$ và $-$ đan xen (dấu của hạng tử đầu tiên là dấu $+$)

$+1-3+3-1$

Bước 2 Biểu diễn $x$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $x$ sẽ giảm dần từ $3$ đến $0$

$+1x^3-3x^2+3x^1-1x^0$

Bước 3 Biểu diễn $y$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $y$ sẽ tăng dần từ $0$ đến $3$

$+1x^3y^0-3x^2y^1+3x^1y^2-1x^0y^3$

Bước 4 Rút gọn biểu thức

$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Vậy $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Bước 1 Xác định hệ số của các hạng tử và dấu của chúng

• Xem dòng thứ ba của tam giác Pascal
• Dấu của các hạng tử là dấu $+$

$+1+2+1$

Bước 2 Biểu diễn $2x$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $2x$ sẽ giảm dần từ $2$ đến $0$

$+1(2x)^2+2(2x)^1+1(2x)^0$

Bước 3 Biểu diễn $3y$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $3y$ sẽ tăng dần từ $0$ đến $2$

$+1(2x)^2(3y)^0+2(2x)^1(3y)^1+1(2x)^0(3y)^2$

Bước 4 Rút gọn biểu thức

$4x^2+12xy+9y^2$

Vậy $(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$

Bước 1 Xác định hệ số của các hạng tử và dấu của chúng

• Xem dòng thứ tư của tam giác Pascal
• Dấu của các hạng tử là dấu $+$ và $-$ đen xen (dấu của hạng tử đầu tiên là dấu $+$)

$+1-3+3-1$

Bước 2 Biểu diễn $\dfrac{2}{x}$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $\dfrac{2}{x}$ sẽ giảm dần từ $3$ đến $0$

$+1\left(\dfrac{2}{x}\right)^3-3\left(\dfrac{2}{x}\right)^2+3\left(\dfrac{2}{x}\right)^1-1\left(\dfrac{2}{x}\right)^0$

Bước 3 Biểu diễn $\dfrac{3}{y}$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $\dfrac{3}{y}$ sẽ tăng dần từ $0$ đến $3$

$+1\left(\dfrac{2}{x}\right)^3\left(\dfrac{3}{y}\right)^0-3\left(\dfrac{2}{x}\right)^2\left(\dfrac{3}{y}\right)^1+3\left(\dfrac{2}{x}\right)^1\left(\dfrac{3}{y}\right)^2-1\left(\dfrac{2}{x}\right)^0\left(\dfrac{3}{y}\right)^3$

Bước 4 Rút gọn biểu thức

$\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{36}{x^2y}+\dfrac{54}{xy^2}-\dfrac{27}{y^3}$

Vậy $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{y}\right)^3=\dfrac{8}{x^3}-\dfrac{36}{x^2y}+\dfrac{54}{xy^2}-\dfrac{27}{y^3}$

Dễ thấy $(x+y+z)^2=[(x+y)+z]^2$

Bước 1 Xác định hệ số của các hạng tử và dấu của chúng

• Xem dòng thứ ba của tam giác Pascal
• Dấu của các hạng tử là dấu $+$

$+1+2+1$

Bước 2 Biểu diễn $(x+y)$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $(x+y)$ sẽ giảm dần từ $2$ đến $0$

$+1(x+y)^2+2(x+y)^1+1(x+y)^0$

Bước 3 Biểu diễn $z$, tương ứng với mỗi hạng tử bậc của $z$ sẽ tăng dần từ $0$ đến $2$

$+1(x+y)^2z^o+2(x+y)^1z^1+1(x+y)^0z^2$

Vì $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ nên $+1(x^2+2xy+y^2)z^o$ $+$ $2(x+y)^1z^1$ $+$ $1(x+y)^0z^2$

Bước 4 Rút gọn biểu thức

$x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2$

Vậy $(x+y+z)^2=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2$

Ai trong chúng ta cũng biết việc giải phương trình nói chung hay phương trình lượng giác nói riêng là tìm tất cả các giá trị của ẩn thỏa mãn phương trình đã cho

Tương ứng với mỗi loại phương trình sẽ có các cách giải khác nhau, với phương trình lượng giác thì thường giải bằng cách đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản

Cụ thể là đưa về một trong bốn phương trình $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ và $\cot x =a$ với $a \in R$

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này, mình sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X hỗ trợ giải một số lớp phương trình lượng giác thường gặp

1 Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• $\sin f(x) = \sin g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} f(x) = g(x) + k 2\pi\\ f(x) = \pi – g(x) + k 2\pi \end{array}\right.$ với $k \in Z$

• $\cos f(x) = \cos g(x) \Leftrightarrow f(x) = \pm g(x) + k 2\pi$ với $k \in Z$

• $\tan f(x) = \tan g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) + k \pi$ với $k \in Z$

• $\cot f(x) = \cot g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) + k \pi$ với $k \in Z$

2 Phương trình lượng giác cơ bản

Máy tính CASIO fx-580VN X có thể sử dụng để hỗ trợ giải một số lớp phương trình lượng giác. Tuy nhiên đối với phương trình $\sin x = a$ máy tính chỉ cho kết quả là $\arcsin a$

Lúc bấy giờ theo công thức nghiệm đã biết chúng ta sẽ kết luận các nghiệm của phương trình này là $x=\arcsin a + k 2\pi$ và $x= \pi -\arcsin a + k 2\pi$ với $k \in Z$

Thực hiện tương tự đối với các phương trình $\cos x =a$, $\tan x = a$ và $\cot x = a$

Chúng ta nên thiết lập đơn vị góc mặc định là Radian trước khi giải các phương trình lượng giác bằng máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1 Nhấn phím $\sin^{-1}$

Bước 2 Nhập $\dfrac{1}{2}$

Bước 3 Nhấn phím =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ và $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ với $k \in Z$

Bước 1 Nhấn phím $\cos^{-1}$

Bước 2 Nhập $\dfrac{1}{3}$

Bước 3 Nhấn phím =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\pm \arccos\left(\dfrac{1}{3}\right)+k2\pi$ với $k \in Z$

Bước 1 Nhấn phím $\tan^{-1}$

Bước 2 Nhập $\sqrt{3}$

Bước 3 Nhấn phím =

Bước 4 Sử dụng tính năng SOLVE giải phương trình $3x+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ với $k \in Z$

Sử dụng tính năng SOLVE giải phương trình $4x=\dfrac{2\pi}{7}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\dfrac{\pi}{14}+k\pi$ với $k \in Z$

3 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng $at+b=0$ trong đó $a, b$ là các hằng số $(a \neq 0)$ và $t$ là một trong các hàm số $\sin, \cos, \tan$ và $\cot$

Phương pháp giải

• Chuyển vế
• Chia hai vế của phương trình cho $a$ để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản
• Giải phương trình lượng giác cơ bản vừa tìm được

Biến đổi sơ cấp $3\cos x+5=0 \Leftrightarrow \cos x=-\dfrac{5}{3}$

Dễ thấy phương trình đã cho vô nghiệm, thật vậy

Bước 1 Biến đổi sơ cấp $\sqrt{3}\tan x+1=0 \Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 2 Giải phương trình $\tan x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ với $k \in Z$

4 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng $at^2+bt+c=0$ trong đó $a, b, c$ là các hằng số $(a \neq 0)$ và $t$ là một trong các hàm số $\sin, \cos, \tan$ và $\cot$

Phương pháp giải

• Đặt biểu thức lượng giác bằng ẩn phụ
• Đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
• Giải phương trình bậc hai vừa tìm được
• Giải các phương trình lượng giác cơ bản vừa tìm được

Bước 1 Đặt $t = sin(x)$ với $t \in [-1; 1]$ phương trình trở thành $2 t^2 + 3 t – 2 = 0$

Bước 2 Giải phương trình bậc hai $2 t^2 + 3 t – 2 = 0$

Nghiệm $t=\dfrac{1}{2} \in [-1; 1]$ nhận, nghiệm $t=-2 \notin [-1; 1]$ loại

Bước 3 Giải phương trình $\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ và $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ với $k \in Z$

Bước 1 Đặt $t = \cot(x)$ phương trình đã cho trở thành $3t^2-5t-7=0$

Bước 2 Giải phương trình bậc hai $3t^2-5t-7=0$

Bước 3 Giải phương trình $\cot x=\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}$

Bước 4 Giải phương trình $\cot x=\dfrac{5-\sqrt{109}}{6}$

Vậy nghiệm của trình đã cho là $x=$ arccot $\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}+k\pi$ và $x=$ arccot $\dfrac{5-\sqrt{109}}{6}+k\pi$ với $k \in Z$