Tìm cực trị của hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X

Nhut Nguyen Minh 19/06/202103/03/2023 0 Comments

Bài này thuộc phần 6 trong 12 phần của series Ứng dụng máy tính Casio fx-580VN X trong Kỳ thi THPT Quốc gia

Trong bài viết này mình sẽ hướng dẫn các bạn tìm cực trị của một hàm số bất kì bằng máy tính Casio fx-580VN X

Về cơ bản có ba phương pháp, trong đó phương pháp đầu tiên tức phương pháp lập bảng biến thiên là hiệu quả nhất

Riêng đối với hàm số bậc hai và bậc ba thì với các tính năng nguyên thủy là đã tìm được cực trị, không cần thực hiện bất kì thủ thuật nào

Mục lục nội dung

1 Cực trị của hàm số bậc hai

Ví dụ 1

Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x)=x^2+2x+3$

Chúng ta có thể tìm chính xác cực trị của hàm số bậc hai nhờ vào việc giải phương trình bậc hai tương ứng

Bước 1 Chọn phương tính thức toán Equation/ Func => chọn Polynomial => nhấn phím 2

Bước 2 Nhập các hệ số

Bước 3 Nhấn phím = chúng ta thu được nghiệm

Bước 4 Tiếp tục nhấn phím = chúng ta thu được điểm cực trị

Kết luận

Cách 1 $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu là $(-1; 2)$
Cách 2 f(x) đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $f_{CT}=f(-1)=2$

2 Cực trị của hàm số bậc ba

Chúng ta có thể tìm chính xác cực trị của hàm số bậc ba nhờ vào việc giải phương trình bậc ba tương ứng

Ví dụ 2

Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x)=2x^3+3x^2-36x-10$

Bước 1 Chọn phương tính thức toán Equation/ Func => chọn Polynomial => nhấn phím 3

Bước 2 Nhập các hệ số

Bước 3 Nhấn phím = chúng ta thu được nghiệm

Bước 4 Tiếp tục nhấn phím = chúng ta thu được các điểm cực trị

Kết luận

Cách 1 $x=-3$ là điểm cực đại của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực đại là $(-3; 71)$ , $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu là $(2; -54)$
Cách 2 f(x) đạt cực đại tại $x=-3$ và $f_{CD}=f(-3)=71$ , f(x) đạt cực tiểu tại $x=2$ và $f_{CT}=f(2)=-54$

Chú ý 2

Nếu hàm số bậc ba không có cực trị thì máy tính sẽ xuất hiện thông báo No Local Max/ Min
Cần phân biệt khái niệm điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số để kết luận cho đúng

3 Cực trị của một hàm số bất kì

3.1 Dựa vào bảng biến thiên

Chi tiết các bước thực hiện bạn vui lòng xem trong bài viết Lập bảng biến thiên bằng máy tính Casio fx-580VN X. Vì mục đích của chúng ta là tìm cực trị của hàm số nên bạn không cần thực hiện Bước 6 trong Thuật giải 1

Ở đây mình chỉ giới thiệu kết quả

Ví dụ 3.1

Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$

Vậy f(x) đạt cực đại tại $x=-1$ và $f_{CD}=f(-1)=-2$ , f(x) đạt cực tiểu tại $x=1$ và $f_{CT}=f(1)=2$

3.2 Dựa vào đạo hàm cấp hai

Ví dụ 3.2

Tìm điểm cực trị của hàm số $f(x)=x^3(1-x)^2$

Bước 1 Tìm những điểm làm cho $f'(x)=0$

Bước 1.1 Giải phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x}=0$

Suy ra $x=0$ là nghiệm thứ nhất

Bước 1.2 Giải phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x} \div (x-0)=0$

Suy ra $x=1$ là nghiệm thứ nhì

Bước 1.3 Giải phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x} \div (x-0) \div (x-1)=0$

Suy ra $x=0.6=\dfrac{3}{5}$ là nghiệm thứ ba

Bước 1.4 Giải phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x} \div (x-0) \div (x-1) \div (x-0.6)=0$

Suy ra $x=1.08 \times 10^{-11}$ hay $x=0$ là nghiệm thứ tư

Bước 1.5 Giải phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x} \div (x-0) \div (x-1) \div (x-0.6) \div (x-0)=0$

Máy thông báo Cannot Solve tức phương trình $\dfrac{d}{dx} (x^3(1-x)^2)|_{x=x} \div (x-0) \div (x-1) \div (x-0.6) \div (x-0)=0$ vô nghiệm

Vậy $0$ (nghiệm kép) $, 1, \dfrac{3}{5}$ là những điểm làm cho $f'(x)=0$

Chú ý 3.2

Nếu nghiệm có dạng $a \times 10^{-n}$ với $a \in R, n \in N^*, n$ đủ lớn thì nghiệm này chính là $0$
Xem thêm bài viết Tìm nghiệm của phương trình bằng tính năng SOLVE để hiểu thêm về tính năng này
Do f(x) là đa thức bậc năm nên quá trình giải phương trình $f'(x)=0$ tốn khá nhiều thời gian (trong thức tế khá ít gặp nên bạn không cần bâng khuâng)

Bước 2 Tính $f''(x)$ tại những điểm làm cho $f'(x)=0$

Tính $f''(0), f''(1), f''\left(\dfrac{3}{5}\right)$

Phương pháp tính đạo hàm cấp hai tại một điểm

$f''(0) \approx 0$

$f''(1) \approx 2 > 0$ suy ra $x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số

$f''\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx -\dfrac{18}{25}<0$ suy ra $x=\dfrac{3}{5}$ là điểm cực đại của hàm số

Vậy f(x) đạt cực tiểu tại $x=1$ và $f_{CT}=f(1)=0$ , f(x) đạt cực đại tại $x=\dfrac{3}{5}$ và $f_{CD}=f\left(\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{108}{3125}$

3.3 Dựa vào phương thức tính toán Table

Phương pháp sử dụng Table thường chỉ khả dụng khi câu hỏi là “Tìm số điểm cực trị của hàm số …” hoặc “Tìm điểm cực trị của hàm số …” với bốn phương án cho trước

Ví dụ 3.3

Tìm số điểm cực trị của hàm số $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}$