Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số là câu hỏi thường gặp trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia
Để tìm được hai giá trị trên chúng ta có thể dựa vào bảng biến thiên hoặc dựa vào đạo hàm. Cả hai phương pháp này đều được hướng dẫn chi tiết trong sách giáo khoa
Hôm nay mình sẽ hướng dẫn cho các bạn một phương pháp mới, chỉ cần sử dụng phương thức tính toán Table
Phương pháp này có thể tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn
1 Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
1.1 Dựa vào bảng biến thiên
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{4}{1+x^2}$
- Nếu đề bài không yêu cầu tìm giá trị lớn nhất trên đâu thì chúng ta phải tự hiểu là tìm trên tập xác định
- Nếu đề bài có yêu cầu cụ thể thì chỉ lập bảng biến thiên trên khoảng yêu cầu
Tuy f(x) là hàm phân thức nhưng $1+x^2 > 0, \forall x \in R$ nên tập xác định của f(x) là $(- \infty; + \infty)$
Thủ thuật Lập bảng biến thiên bằng máy tính Casio fx-580VN X
Vậy $\max _{(-\infty;+\infty)} f(x)=4$ (tại $x=0$)
1.2 Dựa vào phương thức tính toán Table
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty)$
Bước 1 Thiết lập chỉ sử dụng duy nhất hàm f(x)
Bước 2 Chọn phương thức tính toán Table
Bước 3 Nhập biểu thức $x+\dfrac{4}{x}$
Bước 4 Nhập $Start = 0, End = 15, Step = (15-0) \div 44$
Nếu $- \infty$ thì nhập $-15$
Bước 5 Quan sát bảng giá trị của f(x)
Chúng ta dự đoán $\min _{(0 ;+\infty)} f(x)=4$ (tại $x=2$)
Bước 6 Nhập Start, End và Step với các giá trị thích hợp để kiểm tra dự đoán
Quan sát bảng giá trị của f(x) ta thấy $f(x_7)=f(2.045454545)=4.001010101$ là giá trị nhỏ nhất tìm được
Chúng ta sẽ tìm chính xác giá bằng cách cho $Start = x_6$, $End = x_8$, $Step = (x_8-x_6) \div 44$
Cụ thể nhập $Start = 1.7, End = 2.3, Step = (2.3-1.7) \div 44$
Quan sát bảng giá trị của f(x) ta thấy dự đoán trên là đúng
Vậy $\min _{(0 ;+\infty)} f(x)=4$ (tại $x=2$)
2 Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
2.1 Dựa vào đạo hàm
Bước 1 Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ trên khoảng $(a ; b)$ sao cho $f^{\prime}(x)$ bằng $0$ hoặc $f^{\prime}(x)$ không xác định
Bước 2 Tính giá trị $f(a), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f\left(x_{n}\right), f(b)$
Bước 3 Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ trong các giá trị tìm được ở Bước 2
Bước 4 Kết luận $M=\max _{[a ; b]} f(x), m=\min _{[a ; b]} f(x)$
2.2 Dựa vào phương thức tính toán Table
Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+35$ trên đoạn $[-4; 4]$
Bước 1 Thiết lập chỉ sử dụng duy nhất hàm f(x)
Bước 2 Chọn phương thức tính toán Table
Bước 3 Nhập biểu thức $x^3-3x^2-9x+35$
Bước 4 Nhập $Start = -4, End = 4, Step = (4--4) \div 44$
Bước 5 Quan sát bảng giá trị của f(x)
Suy ra $\min _{[-4; 4]} f(x)=-41$ (tại $x=-4$), dự đoán $\max _{[-4; 4]} f(x)=40$ (tại $x=-1$)
Bước 6 Nhập Start, End và Step với các giá trị thích hợp để kiểm tra dự đoán
Quan sát bảng giá trị của f(x) ta thấy $f(x_{18})$ $=$ $f(-0.9090909091)$ $=$ $39.95116454$ là giá trị lớn nhất tìm được
Chúng ta sẽ tìm chính xác giá bằng cách cho $Start = x_{17}$, $End = x_{19}$, $Step = (x_{19}-x_{17}) \div 44$
Cụ thể nhập $Start = -1.0, End = -0.7, Step = (-0.7--1.0) \div 44$
Quan sát bảng giá trị của f(x) ta thấy dự đoán trên là đúng
Vậy $\min _{[-4; 4]} f(x)=-41$ (tại $x=-4$), $\max _{[-4; 4]} f(x)=40$ (tại $x=-1$)
3 Ứng dụng trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia
Khi giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất cho dưới hình thức trắc nghiệm chúng ta không cần thực hiện Bước 6 vì có thể kiểm tra bằng cách so sánh với các phương án A, B, C và D
Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=-x^4+12x^2+1$ trên đoạn $[-1; 2]$ bằng
A. $+1$
B. $37$
C. $33$
D. $12$
Vậy $\max _{[-1; 2]} f(x)=33$ (tại $x=2$)
Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ trên đoạn $[-3; 3]$ bằng
A. $-16$
B. $20$
C. $0$
D. $4$
Vậy $\max _{[-3; 3]} f(x)=20$ (tại $x=3$)
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^4-4x^2+9$ trên đoạn $[-2; 3]$ bằng
A. $201$
B. $2$
C. $9$
D. $54$
Vậy $\max _{[-2; 3]} f(x)=54$ (tại $x=3$)
