Tính giới hạn của dãy số, hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X

Xét tính liên tục của hàm số, tìm đường tiệm cận đứng/ ngang của đồ thị hàm số là các dạng toán thường gặp trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia

Công việc đầu tiên cần làm để giải quyết được các dạng toán này là tính giới hạn của hàm số tương ứng

Máy tính Casio fx-580VN X có 512 tính năng nhưng không một tính nào cho phép chúng ta tính giới hạn của dãy số/ hàm số

Bài viết này sẽ giới thiệu một thủ thuật giúp bạn tính được giới hạn của dãy số, hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X thông qua tính năng CALC

1 Giới hạn của dãy số

1.1 Thuật giải

Bước 1 Nhập dãy số vào máy tính, vì máy tính không có biến n nên ta sẽ thay bằng biến x

Bước 2 Nhấn phím CALC => nhập 10^9 => nhấn phím =

Bước 3 Nếu màn hình hiển thị một số có dạng

  • Trường hợp 1 a \times 10^n với (a \in R^+, n \in N^*) tức một số vô cùng lớn thì đáp án là +\infty
  • Trường hợp 2 -a \times 10^n với (a \in R^+, n \in N^*) tức một số vô cùng bé thì đáp án là -\infty
  • Trường hợp 3 a \times 10^{-n} với (a \in R, n \in N^*) tức một số gần bằng 0 thì đáp án là 0
  • Trường hợp 4 Thập phân vô hạn tuần hoàn thì đáp án là số thập phân vô hạn tuần hoàn
  • Trường hợp 5 Thập phân vô hạn không tuần hoàn thì đáp án là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

1.2 Chú ý

  • Một số ít trường hợp khi CALC 10^9 mà máy báo lỗi Math ERROR thì chúng ta cần giảm số mũ xuống 10^8, 10^7, 10^6, …, 10^1
  • Khi màn hình hiển thị kết quả ban đầu làm chúng ta phân vân không biết thuộc Trường hợp 4 hay Trường hợp 5 thì CALC thêm 10^6, 10^{12} để có thể phân biệt dễ dàng hơn
  • Một số cách viết ít gặp trong thực tế nhưng trong Toán học miễn đúng thì vẫn được chấp nhận
Cách viết thường gặpCách viết ít gặp
Số 2 là một số tự nhiên
  • Số 2 là một số nguyên
  • Số 2 là một số hữu tỉ
  • Số 2 là một số thực
  • Số 2 là một phân số
  • Số 2 là một số thập phân hữu hạn
  • Số 2 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn
  • Trường hợp 4Trường hợp 5 dễ nhầm lẫn nên bạn cần chú ý đến chúng nhiều hơn. Tham khảo bảng bên dưới để có thêm thông tin
Màn hình hiển thịNhận xét
2.999999999
-4
-2.00000002
0.499999567
0.250000003
2.357575758
Trường hợp 4 Số thập phân vô hạn tuần hoàn
1.414213562
3.141592654
2.718281828
Trường hợp 5 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn
  • Khi rơi vào Trường hợp 4 thì cần thực hiện một hoặc một vài thủ thuật phù hợp với từng bài toán cụ thể mới có thể tìm ra đáp án

1.3 Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng thức mặc định của máy tính

Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn 2.357575758 sang dạng thức mặc định của máy tính

Bước 1 Xác định phần nguyên, phần thập phân không tuần hoàn và phần thập phân tuần hoàn

  • Phần nguyên là 2
  • Phần thập phân không tuần hoàn 3
  • Phần thập phân tuần hoàn 57

Bước 2 Nhập phần nguyên => nhấn phím  => nhập phần thập phân không tuần hoàn => nhấn phím  => nhập phần thập phân tuần hoàn

Bước 3 Nhấn phím =

1.4 Ví dụ

Ví dụ 1.4.1

Tính \lim \dfrac{3 n^{2}-n}{1+n^{2}}

Bước 1 Nhập dãy số

Bước 2 Nhấn phím CALC => nhập 10^9 => nhấn phím =

Bước 3 Quan sát kết quả ban đầu, chúng ta nhận thấy rơi vào Trường hợp 4 tức số thập phân vô hạn tuần hoàn

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 2.(9) chuyển sang dạng thức hiển thị mặc định là 3

Vậy giới hạn cần tìm là 3

Ví dụ 1.4.2

Tính \lim \dfrac{2.3+5^n}{13^n.11+7}

Giá trị cần tính toán vượt quá 10^{99} nên cần giảm giá trị xuống, cụ thể đối với bài này là 10^1

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 3 nên giới hạn cần tìm là 0

2 Giới hạn của hàm số

2.1 Thuật giải

Bước 1 Nhập hàm số

Bước 2 Nhấn phím CALC => nếu giới hạn tiến tới

  • Trường hợp 1 +\infty thì nhập 10^9
  • Trường hợp 2 -\infty thì nhập -10^9
  • Trường hợp 3 a với a \in R thì nhập a+10^{-9} hoặc a-10^{-9}
  • Trường hợp 4 a^{+} với a \in R thì nhập a+10^{-9}
  • Trường hợp 5 a^{-} với a \in R thì nhập a-10^{-9}

Bước 3 Xem 1.1

2.2 Ví dụ

Ví dụ 2.2.1

Tính \lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{x^2-4}{x+2}

Bước 1 Nhập hàm số

Bước 2 Nhấn phím CALC => nhập -2+10^{-9} => nhấn phím =

Bước 3 Quan sát kết quả ban đầu, chúng ta nhận thấy rơi vào Trường hợp 4 tức số thập phân vô hạn tuần hoàn

Vậy giới hạn cần tìm là -4

Ví dụ 2.2.2

Cho hàm số f(x)=\left\{\begin{array}{l}5x+2 ~if~ x \geq 1 \\ x^{2}-3 ~if~ x<1 \end{array}\right.

a) Tính \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)

b) Tính \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)

a)

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -2.(0)=-2

b)

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = 7.(0)=7

Ví dụ 2.2.3

Tính \lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+3}{x-1}

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 4 nên giới hạn cần tìm là 1.(9)=2

Ví dụ 2.2.4

Tính \lim_{x \rightarrow - \infty} (x^2-2x)

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 1 nên giới hạn cần tìm là +\infty

Ví dụ 2.2.5

Tính \lim_{x \rightarrow 1^+} \dfrac{2x-3}{x-1}

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 2 nên giới hạn cần tìm là -\infty

3 Hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x_0

Bước 1 Tính \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)

Bước 2 Tính f(x_0)

Bước 3 So sánh \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)f(x_0) nếu \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) thì hàm số đã cho liên tục tại x_0

Ví dụ 3

Xét tính liên tục của hàm số f(x)=\dfrac{x}{x-2} tại x_0=3

Bước 1 Tính \lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{x}{x-2}

Bước 2 Tính f(3)

\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{x}{x-2}=3=f(3) nên hàm số đã cho liên tục tại x_0=3

4 Đường tiệm cận

Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(x)

Bước 1 Nếu \lim _{x \rightarrow+\infty}f(x)=y_{0} thì y={y_0} là đường tiệm cận ngang

Bước 2 Nếu \lim _{x \rightarrow-\infty}f(x)=y_{0} thì y={y_0} là đường tiệm cận ngang

Ví dụ 4.1

Tìm đường tiệm cận ngang của hàm số f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1

\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}+1=1 nên hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y=1

Tìm đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}

Bước 1 Giả sử x_1, x_2, x_3, …, x_n là nghiệm của phương trình h(x)=0

Bước 2 Xét x_1

Bước 2.1 Nếu \lim _{x \rightarrow x_{1}^{+}} f(x)=+\infty hoặc -\infty thì x=x_1 là đường tiệm cận đứng

Bước 2.2 Nếu \lim _{x \rightarrow x_{1}^{-}} f(x)=+ \infty hoặc -\infty thì x=x_1 là đường tiệm cận đứng

Chú ý 4.2

Nếu ở Bước 2.1 tìm được đường tiệm cận đứng thì bỏ qua Bước 2.2

Bước 3 Thực hiện tương tự Bước 2 với trường hợp x_2 và với các trường hợp còn lại (nếu có)

Ví dụ 4.2

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}

Bước 1 Giải x+2=0 \Leftrightarrow x=-2

Bước 2 Tính \lim_{x \rightarrow -2^+} \dfrac{x-1}{x+2}

\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \dfrac{x-1}{x+2}=-\infty nên đường tiệm cần đứng của hàm số đã cho là x=-2

5 Ứng dụng trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia

Câu 6, Đề thi tham khảo, Năm 2021

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=\dfrac{2x+4}{x-1} là đường thẳng

A. x=1

B. x=-1

C. x=2

D. x=-2

Bước 1 Giải x-1=0 \Leftrightarrow x=1

Bước 2 Tính \lim_{x \rightarrow 1^+} \dfrac{2x+4}{x-1}

Vậy x=1 là đường tiệm cận đứng cần tìm

Câu 27, Đề thi tham khảo, Năm 2020

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=\dfrac{5x^2-4x-1}{x^2-1}

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Bước 1 Tính \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{5x^2-4x-1}{x^2-1}

Suy ra y=5 là đường tiệm cận ngang của đồ thì hàm số đã cho

Bước 2 Giải x^2-1=0 \Leftrightarrow x= \pm 1

Bước 3 Tính

\lim_{x \rightarrow 1^+} \dfrac{5x^2-4x-1}{x^2-1}

\lim_{x \rightarrow 1^-} \dfrac{5x^2-4x-1}{x^2-1}

\lim_{x \rightarrow -1^+} \dfrac{5x^2-4x-1}{x^2-1}

Suy ra x=-1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận

Câu 13, Mã đề thi 101, Năm 2018

\lim \dfrac{1}{5n+3} bằng

A. 0

B. \dfrac{1}{3}

C. + \infty

D. \dfrac{1}{5}

Vì kết quả ban đầu rơi vào Trường hợp 2 nên giới hạn cần tìm là 0

Câu 18, Mã đề thi 101, Năm 2018

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 12, Mã đề thi 101, Năm 2017

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \dfrac{x^2-3x-4}{x^2-16}

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

<< Ứng dụng máy tính Casio fx-580VN X trong Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc giaTính đạo hàm của hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X >>
Hãy chia sẽ nếu thấy hữu ích ...

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *